2019-2020学年高一物理人教版必修2课件6.4 万有引力理论的成就

发布于:2021-08-05 00:20:17

4.万有引力理论的成就

学*目标 (1)了解行星绕恒星运动及卫星绕行星的运动是万有引力提 供行星、卫星做圆周运动的向心力. (2)了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
(3)会用万有引力定律计算天体的质量、密度、环绕速度及
周期.

知识导图

课前自主学* 一、天体质量的计算 阅读教材第 41~42 页“科学真是迷人”及第 42 页“计算天 体的质量”部分,回答下列问题. 1.地球质量的计算 (1)思路:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的重 力等于地球对物体的万有引力.
(2)关系式:mg=GMRm2 . (3)结果:M=gGR2,只要知道,g、R、G 的值,就可计算出 地球的质量.

2.太阳质量的计算
(1)思路:质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星
与太阳间的万有引力充当向心力. (2)关系式:GMr2m=m4Tπ22r. (3)结论:M=4GπT2r23. 只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太
阳的质量.
(4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之 间的距离 r,可计算行星的质量 M,公式是 M=4GπT2r23.

☆思考:如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距 离 r,你能求出太阳的质量吗?若要求太阳的密度,还需要哪些 量?

提示:由Gmr地2M太=4Tπ22m 地 r 知 M 太=4GπT2r23.由密度公式 ρ= 43MπR太太3 可知,若求太阳的密度还需要知道太阳的半径.

二、发现未知天体 阅读教材第 42~43 页“发现未知天体”部分,回答下列问 题. 1.已发现天体的轨道推算 18 世纪,人们观测到太阳系第七颗行星——天王星的轨道 和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差. 2.未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未 知天体的轨道,如海王星就是这样发现的.

3.哈雷彗星的回归 1705 年,英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算出了一 颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归,这就是哈雷彗星.

判一判
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.( × ) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位.( √ ) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.( × ) (4) 地 球 表 面 的 物 体 的 重 力 必 然 等 于 地 球 对 它 的 万 有 引 力.( × ) (5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出
太阳的质量.( × ) (6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度,则
可以求出太阳的质量.( √ )

课堂互动探究
知识点一 天体质量和密度的计算
1.天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径 R 及其表面的重力加速度 g,根 据在天体表面上物体的重力*似等于天体对物体的引力,得 mg =GMRm2 ,解得天体的质量为 M=gGR2,g、R 是天体自身的参量, 所以该方法俗称“自力更生法”.

(2)环绕法

借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天

体的质量,俗称“借助外援法”.常见的情况如下:

万有引力提供向心力 中心天体的质量

说明

GMr2m=mvr2 GMr2m=mrω2 GMr2m=mr4Tπ22

M=rGv2 M=r3Gω2
M=4GπT2r23

r 为行星(或卫 星)的轨道半径, v、ω、T 为行星 (或卫星)的线速 度、角速度和周


2.天体密度的计算 若天体的半径为 R,则天体的密度 ρ=43πMR3,将 M=4GπT2r23代 入上式可得 ρ=G3Tπ2rR33. 特殊情况,当卫星环绕天体表面运动时,卫星的轨道半径 r
可认为等于天体半径 R,则 ρ=G3Tπ2.

易错提醒,
(1)利用 GMr2m=mg 求天体的质量时,g 是所求天体表面的重 力加速度,且计算的前提是忽略了天体的自转.
(2)由 F 引=F 向求得的质量为中心天体的质量,而不是做圆 周运动的天体的质量.

1(多选)已知引力常量 G 和下列各组数据,能计算出地球质 量的是( )
A.月球绕地球运行的周期及月球距地心的距离 B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 C.人造卫星在地面附*运行的速度和运行周期 D.若不考虑地球的自转,已知地球的半径及重力加速度

解析:当地球为中心天体时,月球或人造卫星绕地球做圆周
运动,则有GMr2 m=mr4Tπ22或GMr2 m=mvr2,可得到地球质量的表达 式分别为 M=4GπT2r23、M=vG2r=2vπ3TG,选项 A、C 正确;对于地面 上的物体,有 mg=GRM2m,得 M=gGR2,选项 D 正确.
答案:ACD

2(2017·邢台市高一联考)美国发射的“凤凰号”火星探测器

已经在火星上着陆,正在进行着激动人心的科学探究(如发现了

冰),为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基

础.如果火星探测器环绕火星做“*地”匀速圆周运动,并测得

它运动的周期为 T,则火星的*均密度 ρ 的表达式为(k 为某个常

量)( )

A.ρ=kT

B.ρ=Tk

C.ρ=kT2

D.ρ=Tk2

解析:根据万有引力定律得 GMRm2 =mR4Tπ22,可得火星的质 量 M=4Gπ2TR23,又火星的体积 V=43πR3,故火星的*均密度 ρ=MV
=G3Tπ2=Tk2,选项 D 正确. 答案:D

[变式训练]
如图所示,是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的 “艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器 在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞 行,环绕 n 周飞行时间为 t,已知引力常量为 G,则下列关于土 星质量 M 和*均密度 ρ 的表达式正确的是( )

A.M=4π2?GRt+2 h?3,ρ=3πG?Rt2+R3h?3 B.M=4π2?GRt+2 h?2,ρ=3πG?Rt2+R3h?2 C.M=4π2t2G?Rn+2 h?3,ρ=3πtG2?nR2+R3h?3 D.M=4π2n2G?Rt2+h?3,ρ=3πnG2?tR2R+3 h?3

解析:设“卡西尼”号的质量为 m,土星的质量为 M,“卡 西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力 提供,G?RM+mh?2=m(R+h)???2Tπ???2,其中 T=nt ,解得 M=4π2n2G?Rt2+h?3. 土星体积 V=43πR3,所以 ρ=MV =3πnG2?tR2R+3 h?3.选项 D 正确.
答案:D

误区警示,
求解天体质量的注意事项 (1)计算天体质量的方法:M=gGR2和 M=4GπT2r23.不仅适用于计 算地球和太阳的质量,也适用于其他星体. (2)注意 R、r 的区分:R 指中心天体的球体半径,r 指行星 或卫星的轨道半径.若行星或卫星*行奶焯骞斓涝诵校蛴 R=r.

知识点二 天体运动的分析与计算
利用万有引力定律解决天体运动的基本方法 (1)掌握一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型. (2)记住两组公式 ①GMr2m=mvr2=mω2r=m4Tπ22r=man ②mg=GRM2m(g 为星体表面处的重力加速度) 即 GM=R2g,该公式通常被称*鸫唬

(3)理解几个关系式 设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为 r 的匀速 圆周运动 GMr2m=mvr2=mrω2=m4Tπ22r=man,可推导出:
即:对于 r、v、ω、T、an 五个量“一定四定”,“一变四变”.

3假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太 阳的距离小于火星到太阳的距离,那么( )
A.地球公转周期大于火星的公转周期 B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度

解析:根据 GMr2m=m???2Tπ???2r=mvr2=man=mω2r 得,公转周期 T=2π GrM3 ,故地球公转的周期较小,选项 A 错误;公转线速
度 v= GrM,故地球公转的线速度较大,选项 B 错误;公转加 速度 an=GrM2 ,故地球公转的加速度较大,选项 C 错误;公转角
速度 ω= GrM3 ,故地球公转的角速度较大,选项 D 正确. 答案:D

4据报道,“嫦娥一号”和“嫦娥二号“绕月飞行器的圆形

工作轨道距月球表面分别约为 200 km 和 100 km,运行速率分别

为 v1 和 v2.那么 v1 和 v2 的比值为(月球半径取 1 700 km)( )

19

19

18

18

A.18

B. 18

C. 19

D.19

解析:由 GMr2m=mvr2,得

v= GrM= RG+Mh,

所以vv12= 答案:C

RR++hh21=

1189,故 C 项正确.

方法技巧,
天体运动问题解决技巧 (1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星 的 v、ω、T、an 等物理量的大小时,可考虑口诀“越远越慢”(v、 ω、T)、“越远越小”(an).

(2)涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的

计算问题时,若已知量或待求量中涉及重力加速度 g,则应考虑

*鸫皇 gR2=GM???mg=GMRm2 ???的应用.

(3)若已知量或待求量中涉及

v



ω



T,则应考虑从

Mm G r2

=mvr2=mω2r=m4Tπ22r 中选择相应公式应用.

[变式训练]
(多选)两个行星各有一个卫星绕其表面运行,已知两个卫 星的周期之比为 1:2,两行星半径之比为 2:1,则下列选项正 确的是( )
A.两行星密度之比为 4:1 B.两行星质量之比为 16:1 C.两行星表面处重力加速度之比为 8:1 D.两卫星的速率之比为 4:1

解析:A.由 ρ=G3Tπ2,则 ρ1:ρ2=4:1,A 正确;B.由 M=ρ·43πR3, 则 M1:M2=32:1,B 错误;C.由 GM=gR2,则 g1:g2=8:1,C 正
确;D.由 v= GRM,则 v1:v2=4:1,D 正确,故选 ACD. 答案:ACD

随堂达标演练

1.(2017·杭州高一检测)若太阳质量为 M,某行星绕太阳公转

周期为 T,轨道可视为半径为 r 的圆.已知万有引力常量为 G,

则描述该行星运动的上述物理量满足( )

A.GM=4πT22r3

B.GM=4πT22r2

C.GM=4πT23r2

D.GM=4Tπ2r3

解析:行星绕太阳做匀速圆周运动,太阳对行星的引力提供 向心力,有 GMr2m=m4Tπ22r,所以 GM=4πT22r3,选项 A 正确.
答案:A

2.小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量 缓慢减小,可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中*似做圆周 运动.则经过足够长的时间后,小行星运动的( )
A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大
解析:因恒星质量 M 减小,所以万有引力减小,不足以提 供行星所需向心力,行星将做离心运动,半径 R 变大,A 项正确,
再由 v= GRM,ω= GRM3 ,a=GRM2 可知,速率、角速度、加 速度均变小,故 B、C、D 均错误.
答案:A

3.若已知地球绕太阳公转的半径为 r,公转周期为 T,引力 常量为 G,则由此可求出( )
A.地球的质量 B.太阳的质量 C.地球的密度 D.太阳的密度
解析:设地球的质量为 m,太阳的质量为 M,由 GMr2m=mr???2Tπ??? 2 得 M=4GπT2r23,即可求出太阳的质量,因为不知太阳的半径,故 不能求出太阳的密度.B 正确.
答案:B

4.若地球绕太阳的公转周期和公转轨道半径分别为 T 和 R,

月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r,则太阳质

量与地球质量之比为( )

R3t2

R3T2

R3t2

A.r3T2 B. r3t2 C.r2T3

R2t3 D.r2T3

解析:无论地球绕太阳公转,还是月球绕地球公转,统一的 公式为GRM02m=m4πT202R0,即 M∝RT0230,所以MM太地=rR33Tt22,A 正确.
答案:A

5.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若

测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附*圆

形轨道运行的周期 T,已知引力常量为 G,半径为 R 的球体体积

公式 V=43πR3,则可估算月球的(

)

A.密度 B.质量

C.半径 D.自转周期

解析:“嫦娥二号”在*月表面做匀速圆周运动,已知周期
为 T,有 GMRm2 =m???2Tπ???2R.故无法求出月球半径 R 及质量 M,但结 合球体体积公式可估算出密度 ρ=G3Tπ2,A 项正确.
答案:A

6.如图所示,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质 量为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是( )
A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大

解析:甲、乙两卫星分别绕质量为 M 和 2M 的行星做匀速
圆周运动,万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力.由牛顿 第二定律 GMr2m=ma=m4Tπ22r=mω2r=mvr2,可得 a=GrM2 ,T= 2π GrM3 ,ω= GrM3 ,v= GrM.由已知条件可得 a 甲<a 乙,T 甲 >T 乙,ω 甲<ω 乙,v 甲<v 乙,故正确选项为 A.
答案:A


相关推荐

最新更新

猜你喜欢